Wenn Du das erste Linux im Grub-Bootmenü gestartet hast, geh mal in eine Konsole und gib ein:
sudo update-grubWenn das nicht geht, schau mal nach, ob der os-prober installiert und auch aktiviert ist. Bei Manjaro ist der auf jeden Fall deaktiviert.
Das mit F12 für das Bootgerät hängt vom BIOS/UEFI ab, es geht nicht überall, aber einen Versuch ist es wert.
Ich habe den Eindruck, dass Du BIOS und GRUB verwechselst. Im BIOS stellst Du nur ein, von welchem Gerät der Rechner starten soll.
Das Menü, auf dem Du das System auswählen kannst, ist der GRUB (Grand Unified Bootmanager), der von dem Gerät aus gestartet wird, das Du im BIOS auswählst. Das BIOS ist Stufe 1, Grub ist Stufe 2 sozusagen.
Ich komme darauf, weil Du sagst, dass im BIOS kein Windows eingetragen ist. Ich kenne kein BIOS, in dem man das kann.
Kannst Du ein Linux starten? Ist erst mal egal welches, Hauptsache es startet mal.