Bei Gaming, zugegeben, da kenne ich mich nicht aus.
Was ins Budget passen würde wäre eine der neuen Steam Deck OLED (ua. größeres HDR-Fähiges Display), dazu ein Controller (und eventuell SteamDeck Dockingstation) sowie ein Monitor. Das System lässt sich auch im Desktop-Modus nutzen, also dann mit Maus und Tastatur.
Das oben genannte Szenario macht aber nur bei Linux only sinn. Ob und wie Spiele laufen kann man hier nachsehen: --> https://www.protondb.com/