Neustarten funktioniert nicht.

Ich vermute mal folgendes: die missglückte Installation mit Windows 10 steht in der Boot-Reihenfolge weiterhin an erster Stelle. Da Windows 10 aber defekt ist, kann es nicht starten (Meldung "No bbtable image found, Notebook will be shutdown"). Mint wird also durch die defekte Windows-Installation blockiert.

Du könntest also ins UEFI gehen und Mint (ubuntu-Eintrag) an die erste Stelle setzen.
Oder Du könntest direkt aus dem UEFI-Boot-Menü starten und darin den Eintrag für Mint (ubuntu) wählen.

Man kann natürlich auch die Reste der missglückten Windows-Installation entfernen (ist vielleicht für einen Einsteiger nicht ganz so einfach).

Zu empfehlen ist zudem, im UEFI die Einstellung 'Secure Boot' auf 'disabled' zu stellen.

Mit der Tastatur bis "OS Boot Manager" gehen und Enter drücken. Dann sollte ein neues Menü aufgehen in dem Du dann eine Bootauswahl treffen kannst.

Bei Problemen mach ein Bild und poste es hier.

Die Fotos sind schon einmal hilfreich. Anscheinend kann man unter 'System Configuration' nur die Reihenfolge ändern.
Es gibt im UEFI-BIOS aber normalerweise auch eine Seite, wo man direkt ein OS starten kann. Außerdem gibt es noch einen Hotkey (müsstest Du probieren welcher das ist), um beim Einschalten des Rechners das so genannte UEFI-Boot-Menü aufzurufen. Von den abgebildeten Einträgen sind auf jeden Fall die ersten beiden am Vielversprechendsten (also 'OS Boot Manager' und ggf. auch noch 'Customized Boot').

Sollte das alles auch nichts bringen, wäre im äußersten Fall auch noch eine (temporäre) Umstellung des Boot-Modus zu probieren (nach bisherigem Stand aber extrem unwahrscheinlich, das das was bringt).

Okay, falsche Voraussetzung meinerseits. Im HP-Rechner meiner Frau lassen sich die Einträge einzeln anwählen.

Das scheint hier nicht der Fall zu sein.

Was passiert wenn Du im zweiten Bild auf "OS Boot Manager" klickst?

Also wenn der Rechner neu eingeschaltet wird, kann Linux Mint gestartet werden? Nur der Neustart aus dem laufenden OS heraus funktioniert nicht?

Da muss ich passen. Zumal ich keine Rechner habe, die diese Art von UEFI haben, wie in den Bildern zu sehen ist.

Das kann auch ein Fehler der UEFI-Software sein. Dann müsstest Du vorerst mit der kleinen Unbequemlichkeit leben müssen, für jeden Neustart den Rechner vorher ausschalten zu müssen.

Die Bezeichnung 'ubuntu' für den Bootstarter von Mint ist normal. Denn Mint benutzt stets den UEFI-Starter für Ubuntu.

Ich muss mich leider dem Vorredner anschliessen. Da kann ich nicht weiterhelfen.

Die Meldung sagt das etwas in den Bioseinstellungen nicht stimmt, zumindest zu hoher Wahrscheinlichkeit. Als Zweites wäre ein defekter Anschluss der Festplatte oder gar ein Defekt der selbigen noch möglich.
Anschluss der Festplatte prüfen, ob alles sitzt.
Im BIOS würde ich noch testen, ob der LegacyModus Besserung bringt. Wenn dies auch nicht hilft, dann BIOS auf die Werkseinstellungen zurücksetzen.

Quote from Helmfuss

Wenn dies auch nicht hilft, dann BIOS auf die Werkseinstellungen zurücksetzen.

Ja, vielleicht auch das noch.
Ich vermute immer noch, dass das Problem irgendwie mit der missglückten Installation von Windows 10 zu tun hat (Post #1).
Also der Nutzer befiehlt einen Neustart. Dann verzweigt die Befehlsausführung zunächst wieder in das UEFI-BIOS, wo möglicherweise die Software automatisch versucht, das Phantom-Windows zu starten. Quasi wie bei einem Rücksprungbefehl mit falscher Adresse. Wenn diese Theorie stimmen und ein BIOS-Reset diese falsche Verknüpfung löschen würde! Ja, wenn, wenn ...

Dein UEFI ist ein wenig veraltet ( .f41 von 2013) das aktuellste auf der HP Homepage ist (F.68 Rev.A von 2019) . Ein Update deines UEFI´s sollte eigentlich diesen Fehler beheben.Zumindest ist meistens ein veraltetes UEFI der Grund dafür

Man könnte vielleicht auch einen älteren Kernel raus suchen bei dem das geht. Dann hättest du aber spätestens beim nächsten Update das selbe Problem

https://support.hp.com/ch-de/drivers/hp-probook-4740s-notebook-pc/5229498

Die .exe aufm Desktop speichern, GANZ WICHTIG !!!! -->> Laptop auf jeden Fall mit Netzkabel betreiben (nicht im Akkubetrieb), .exe Doppelklicken und den Anweisungen folgen

Quote from nkn80

Zumindest ist meistens ein veraltetes UEFI der Grund dafür

Steht wo?

Quote from nkn80

Die .exe aufm Desktop speichern, GANZ WICHTIG !!!! -->> Laptop auf jeden Fall mit Netzkabel betreiben (nicht im Akkubetrieb), .exe Doppelklicken und den Anweisungen folgen

Auf dem Linux Mint Desktop?

Ach leute .... welches OS braucht man wohl für eine .exe ???

Selbes Problem hatte ich damals 2019 mit Mint. Da konnte ich 3 Kernelversionen zurück rudern welcher vor dem damals aktuellen Release meines UEFI´s datiert war.

Da hatte ich Dr. Google inkludiert. Das hat eine Weile gedauert aber ich werde jetzt nicht alle Quellen erneut suchen. Es waren damals 2 Lösungsansätze und sie funktionierten (entweder älterer Kernel oder UEFI Update).

Das man eventuell ein UEFI aus 2013 auf ein UEFI aus 2019 Updaten sollte ist ja schon fast selbstredend. Vielleicht kann er dann auch einstellen was er bisher nicht einstellen konnte.

Hier ist nochmal der direkte Dl-Link:

https://support.hp.com/ch-de/drivers/closure/hp-probook-4740s-notebook-pc/5229498

Hier mal ein KI-Auszug:

Übersicht mit KI
Ja, die UEFI-Version hat einen Einfluss auf Linux-Funktionen wie den Neustart, insbesondere bei der Interaktion zwischen Firmware und Betriebssystem, der Handhabung von Secure Boot und der Unterstützung von Hardware
. Eine fehlerhafte UEFI-Implementierung kann zu Problemen führen, während eine korrekt implementierte UEFI-Umgebung schnellere Starts und zusätzliche Funktionen unterstützt. 
Auswirkungen auf Neustart und andere Funktionen

    Boot- und Neustartvorgang: UEFI definiert, wie das Betriebssystem den Bootvorgang startet. Auch der Neustart, der das System herunterfährt und neu startet, wird durch die UEFI-Schnittstelle gesteuert. Die Firmware-Version kann beeinflussen, wie dieser Prozess abläuft und ob es zu Problemen kommt.
    Secure Boot: UEFI-Systeme können Secure Boot nutzen, eine Sicherheitsfunktion, die nur die Ausführung von signierten Betriebssystemen und Treibern zulässt. Die UEFI-Version muss dies unterstützen und die Linux-Kernel-Signatur muss korrekt sein, damit Linux im Secure Boot-Modus booten kann.
    Hardware-Unterstützung: UEFI unterstützt moderne Hardware wie größere Festplatten (> 2 TB) und GPT-Partitionstabellen, was für Linux-Installationen wichtig sein kann.
    Fehleranfälligkeit: In der Vergangenheit gab es Berichte über Fehler in bestimmten UEFI-Versionen, die zu Problemen beim Booten von Linux führten.
    Firmware-Updates: Die UEFI-Version kann über die Firmware-Einstellungen aktualisiert werden. Linux-Distributionen wie Fedora und Ubuntu können die Firmware über Tools wie fwupd aktualisieren, was die Kompatibilität und Stabilität verbessern kann.
    Kexec/Kdamp: Einige neuere UEFI-Versionen und Linux-Kernel unterstützen den "Kexec/Kdamp"-Mechanismus auch im Secure Boot-Modus, der für schnelle Systemneustarts und die Erstellung von Absturzabbildern wichtig ist.